纳什均衡是一组策略，在其他参与者保持策略不变时，没有任何参与者能通过单方面改变自己的策略而获得更好的结果。它是博弈的稳定结局。
它以约翰·纳什的名字命名，他在 1950 年给出的证明让他获得了 1994 年的诺贝尔奖。纳什均衡并不总是对所有人最好的结果，囚徒困境就说明了这一点。
要找到纳什均衡，就逐一查看每种选择组合，问一问是否有哪个参与者会单方面改变选择。一个博弈在确定的选择中可能有一个均衡、多个均衡或者没有均衡；纳什证明了，只要允许参与者随机混合自己的选择，每个有限博弈都至少有一个均衡。
这个概念比它的名字更古老。1838 年，法国数学家安托万·奥古斯丁·古诺描述了两个泉水卖家，他们各自根据对方的销量决定自己卖多少，最终停在双方都不想改变的地方：用今天的话说，就是纳什均衡。1928 年，约翰·冯·诺伊曼证明了一方之得即另一方之失的两人博弈总有稳定解；1944 年，他和奥斯卡·摩根斯特恩出版了《博弈论与经济行为》，奠定了博弈论的基础，但参与者更多、利益部分重合的博弈在很大程度上仍未解决。
小约翰·福布斯·纳什 1928 年出生于西弗吉尼亚州的布卢菲尔德。1948 年他来到普林斯顿时，只带着卡内基理工学院的教授理查德·达芬写的一句话推荐信：“此人是个天才。”21 岁时，他写下了 28 页的博士论文《非合作博弈》（1950 年），把均衡的概念推广到任意数量、利益可以重叠的参与者。1950 年，他在《美国国家科学院院刊》上用两页的论文发表了核心结果，1951 年又在《数学年刊》上发表了完整版本。据说他把成果拿给冯·诺伊曼看时，这位前辈不以为然，说那不过是一个不动点定理。
早期的大部分研究是冷战出资的。由美国空军资助的研究机构兰德公司聘请了一批博弈论学者（纳什也以顾问身份在列）来研究核战略，在核战略中，每一方的最佳行动都取决于它预期对方会怎么做。1950 年 1 月，兰德公司的两位数学家梅里尔·弗勒德和梅尔文·德雷希尔让同事把一个博弈玩了 100 次来检验这个想法。均衡是双方都只顾自己，但他们在大多数回合里选择了合作。纳什的论文导师阿尔伯特·塔克后来把同一个博弈讲成了两个囚犯的故事，它就成了囚徒困境。
1959 年，纳什的事业因精神分裂症而中断，此后二十年里他大部分时间辗转于医院内外。20 世纪 80 年代他的病情好转，1994 年他与约翰·海萨尼和莱因哈德·泽尔腾共同获得诺贝尔经济学奖：海萨尼把均衡推广到参与者彼此并不完全了解的博弈，泽尔腾则对均衡加以精炼，排除了没有人会真正执行的威胁。2015 年，他因偏微分方程方面的工作获得阿贝尔奖，在领奖回家的路上，他和妻子艾丽西亚在新泽西州的一场车祸中去世。西尔维娅·娜萨所著的传记《美丽心灵》（1998 年）在 2001 年被改编成获得奥斯卡奖的电影；经济学家常指出，片中他在酒吧里解释自己想法的那场戏，描述的是一个合作计划，而那并不是纳什均衡。
生物学家在动物身上发现了同样的逻辑。1973 年，约翰·梅纳德·史密斯和乔治·普莱斯用它解释了为什么争夺食物或配偶的动物通常只是虚张声势，而不是拼个你死我活：进化稳定策略就是一种一旦扩散开来、任何新行为都无法胜过的纳什均衡。此后，人们在实验室和野外都观察到了它。曼弗雷德·米林斯基（1979 年）在水箱两端以不同的速度给刺鱼喂食，鱼群按食物的比例分布在两端，所以没有哪条鱼能靠换位置获益。戴维·哈珀（1982 年）看到剑桥一个湖上的绿头鸭在有人从两个地点投喂面包时也是如此。巴里·西内沃和柯蒂斯·莱夫利（1996 年）发现，加利福尼亚的雄性侧斑蜥蜴分为三种类型，彼此循环克制，就像石头剪刀布一样，所以它们的数量围绕一个混合均衡此消彼长。
为真实利益而博弈的人，行为往往接近理论预测。对职业网球赛发球（马克·沃克和约翰·伍德斯，2001 年）和欧洲足球点球（伊格纳西奥·帕拉西奥斯-韦尔塔，2003 年）的研究发现，选手们混合方向的方式与均衡所说的大致相同，所以对方无从利用。各国政府也用这一理论设计拍卖，例如美国从 1994 年开始的无线电频谱拍卖。
两家咖啡馆各自选择高价或低价。如果都定高价，各赚 $100；如果都定低价，各赚 $60；如果一家降价而另一家维持高价，便宜的那家赚 $120，另一家赚 $40。无论对手怎么做，降价都赚得更多，所以两家都降价，各赚 $60。这就是纳什均衡，尽管两家都定高价本来能赚得更多。
两名同伙在不同的房间里受审，彼此无法交流。每人都可以保持沉默或认罪。下表显示了每种选择组合下两人各自的刑期；年数越少越好。
| 同伙: 保持沉默 | 同伙: 认罪 | |
|---|---|---|
| 你: 保持沉默 | 你: 1 年同伙: 1 年 | 你: 5 年同伙: 获释 |
| 你: 认罪 | 你: 获释同伙: 5 年 | 你: 3 年同伙: 3 年★ 纳什均衡 |
先从你的角度看。如果同伙保持沉默，你认罪就能获释，而不是坐 1 年牢。如果同伙认罪，你认罪会判 3 年，而不是 5 年。无论哪种情况，认罪对你都更有利，而面对同样数字的同伙也会这样推理。
于是两人都认罪，各服刑 3 年。谁都无法通过单方面改变自己的选择而获益：谁单独改为沉默，谁就会被判 5 年。这使得双方都认罪成为纳什均衡，尽管两人都保持沉默只会让每人判 1 年。稳定的结果与对两人最好的结果之间的差距，正是这个困境的全部要义。
| 概念 | 含义 | 在囚徒困境中 |
|---|---|---|
| 占优策略 | 含义: 无论其他人怎么做，对一个参与者来说都是最好的选择。 | 在囚徒困境中: 认罪：无论同伙招不招，认罪都更好。 |
| 纳什均衡 | 含义: 一组选择，在其中谁都无法靠只改变自己的选择而获益。 | 在囚徒困境中: 两人都认罪，各判 3 年。 |
| 帕累托有效的结果 | 含义: 在不让别人变差的前提下，无法让任何人变得更好的结果。 | 在囚徒困境中: 两人都沉默（各判 1 年），以及其中一人获释的两种结果。只有两人都认罪不是。 |
当每个参与者都有占优策略时，大家都采用占优策略就是一个纳什均衡，但大多数博弈的均衡中并没有任何占优策略。而且纳什均衡可能是帕累托无效的，就像这里一样。
有些博弈不存在由确定选择构成的稳定组合。在点球中，如果罚球者总是射向左边，守门员就会总是扑向左边，于是罚球者会改射右边，如此循环往复。出路在于让人捉摸不透：双方都按合适的概率随机选择。
合适的概率，就是让对手无机可乘的概率。如果守门员向两边扑救的能力一样好，罚球者就应该一半时间射向一边；这样，守门员扑左还是扑右，扑出的比例都一样。这一对随机组合就是混合策略纳什均衡。纳什证明了，只要允许混合，每个参与者和选择数量有限的博弈都至少有一个均衡。
石头剪刀布是经典的例子：唯一的均衡是三种手势各出三分之一。任何偏向石头的倾向，都会被多出布的人打败。
同一个街角的两家加油站各自定价。比对方便宜就能赢得顾客，所以价格不断下降，直到哪一家都无法再靠单方面降价或涨价获益，往往接近成本。这就是伯特兰竞争模型，也是相邻的加油站往往标价相同的原因之一。
每位司机都根据其他人的选择，挑选对自己最快的路线。交通会稳定在任何一位司机都无法靠换路节省时间的状态，而这并不总是整体最快的格局。在布雷斯悖论中，新修一条路甚至可能让每一趟行程都变慢，因为司机们都挤到了这条捷径上。
两个敌对的国家，或两个竞争的品牌，无论对方怎么做，自己多花钱都更有利，所以双方都大举投入，最后差不多回到原点，只是更穷了。这是一个囚徒困境，而条约或行业协议试图改变其中的收益。
所有人都靠右行驶是一个均衡，所有人都靠左行驶也是：如果其他人都靠同一边，你也会这样做。这类博弈有不止一个均衡，一个国家最终落在哪一个，由历史决定。
一个已经稳定下来的价格就是一种均衡：在给定其他所有人做法的情况下，没有哪个买家或卖家看到更好的一步。在 Journey Shares 里，你可以看到价格稳定下来，然后在新闻改变了某人的最佳行动时跳动。
和一个机器人玩六轮；你们同时做出选择。都合作：各得 3 分。都背叛：各得 1 分。如果一方背叛而另一方合作，背叛者得 5 分，合作者得 0 分。
✗ 误解: 纳什均衡就是最好的结果。
✓ 事实: 它只是稳定而已。在囚徒困境中，均衡对双方来说都比合作更糟。
✗ 误解: 每个博弈都恰好有一个纳什均衡。
✓ 事实: 博弈可能有好几个（靠哪边行驶），也可能在确定的选择中一个都没有（石头剪刀布）。一旦允许混合，每个有限博弈都至少有一个。
✗ 误解: 它假设人都是自私的。
✓ 事实: 它假设每个参与者都按照自己的收益做出最好的选择。如果参与者关心彼此，这一点会体现在收益中，均衡也会随之改变。
✗ 误解: 《美丽心灵》里的酒吧场景展示了纳什均衡。
✓ 事实: 在电影的计划中，没有人去接近最受欢迎的那位女士。这并不稳定：只要其他人按兵不动，任何一个朋友去接近她都会获益。
✗ 误解: 人们总是按均衡行事。
✓ 事实: 现实中的参与者往往比理论预测的更愿意合作，尤其是在重复博弈中或面对熟人时。均衡是一个基准，而不是定律。
当考虑到其他人的做法，没有任何玩家能通过改变自己对某只股票的交易方式而获益时，它的价格就会稳定下来：这是一个小小的纳什均衡。
价格稳定意味着此刻没有人看到更好的一步。新的信息，或者一个看法不同的玩家，都会打破它。
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在这种状态下，每个人在给定其他人做法的情况下都已尽力而为，所以没有人想单方面改变自己的选择。
列出每一种选择组合，对每一种都问：是否有哪个参与者只改变自己的选择就能获得更好的结果。没有人能做到的组合，就是纳什均衡。
美国数学家约翰·纳什，在他 1950 年于普林斯顿完成的博士研究中提出。他因此分享了 1994 年的诺贝尔经济学奖。
为了预测当每一方的最佳行动都取决于其他方时会发生什么。它的第一个大资助方是冷战时期兰德公司的核战略研究；之后它被用于企业竞争、谈判、拍卖，以及生物学中动物行为的进化。
观察到过。刺鱼和绿头鸭会按照均衡预测的比例分布在两个食物来源之间，而雄性侧斑蜥蜴会像石头剪刀布一样在三种求偶策略之间循环。
不是。在囚徒困境中，均衡让双方都比合作时更糟。
可以。许多博弈有好几个，参与者最终达到哪一个，可能取决于历史或预期。
占优策略是无论其他人怎么做，对一个参与者来说都是最好的选择。纳什均衡只要求每个选择在给定其他人实际选择的情况下是最好的。当每个参与者都有占优策略时，大家都采用它就是一个纳什均衡，但许多博弈的均衡中并没有任何占优策略。
不是。在囚徒困境中，双方都认罪是唯一的纳什均衡，然而双方都保持沉默会让每个人都过得更好。
参与者按特定概率随机选择的一种均衡，这个概率的设定使对手改变策略也无法获益。在石头剪刀布中，就是三种手势各出三分之一。
双方都认罪（或背叛）。无论对方怎么做，认罪都更有利，所以谁都不会单方面改变，尽管双方都保持沉默的回报更高。
这是哪个术语？
“____研究策略性决策，即每个参与者的最佳选择取决于其他人的选择。____是它最著名的例子。”
类别: 市场结构
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