ナッシュ均衡とは、ほかのプレイヤーが戦略を変えないとき、どのプレイヤーも自分の戦略だけを変えてもより良くならない戦略の組み合わせです。ゲームの安定した結果です。
ジョン・ナッシュにちなんで名づけられ、1950年の証明が1994年のノーベル賞につながりました。囚人のジレンマが示すように、ナッシュ均衡が全員にとって最良の結果になるとは限りません。
見つけるには、選択のそれぞれの組み合わせについて、自分だけで選択を変えたがるプレイヤーがいるかを問います。決まった選択の中では、ゲームの均衡は1つのことも、複数のことも、ないこともあります。ナッシュは、プレイヤーが選択をランダムに混ぜることを認めれば、どんな有限ゲームにも少なくとも1つの均衡があることを証明しました。
この考え方は名前より古いものです。1838年、フランスの数学者アントワーヌ・オーギュスタン・クールノーは、湧き水を売る2人の売り手が、それぞれ相手の販売量を前提に自分の販売量を選び、どちらも変えたくなくなるところに落ち着く様子を描きました。今の言葉で言えばナッシュ均衡です。1928年、ジョン・フォン・ノイマンは、一方の得が他方の損になる2人ゲームには必ず安定した解があることを証明し、1944年にはオスカー・モルゲンシュテルンとともに『ゲームの理論と経済行動』を出版しました。この本はゲーム理論を創始しましたが、プレイヤーが3人以上で利害が一部重なるゲームは、ほとんど解かれないままでした。
ジョン・フォーブス・ナッシュ・ジュニアは1928年、ウェストバージニア州ブルーフィールドで生まれました。1948年、カーネギー工科大学の教授リチャード・ダフィンが書いた「この男は天才だ」という1行の推薦状を手にプリンストンにやって来ました。21歳で28ページの博士論文『非協力ゲーム』（1950年）を書き、利害が重なりうる任意の人数のプレイヤーへと均衡の考え方を広げました。中心的な結果は1950年に米国科学アカデミー紀要に載った2ページの論文で、完全版は1951年に『アナルズ・オブ・マセマティクス』で発表しました。フォン・ノイマンに見せたところ、年長の彼は「ただの不動点定理だ」と取り合わなかったと伝えられています。
初期の研究の多くは冷戦が資金を出しました。米空軍が出資する研究機関ランド研究所は、核戦略について考えるためにゲーム理論家を雇い、ナッシュもコンサルタントとして加わりました。核戦略では、各陣営の最善の手は相手がどうすると予想するかで決まるからです。1950年1月、ランド研究所の2人の数学者メリル・フラッドとメルビン・ドレシャーは、同僚たちに100回プレイさせるゲームでこの考え方を試しました。均衡は両者とも自分の利益を守ることでしたが、実際には大半のラウンドで協力が選ばれました。のちにナッシュの指導教員アルバート・タッカーが、同じゲームを2人の囚人の話として語り、それが囚人のジレンマになりました。
ナッシュの経歴は1959年に統合失調症によって中断され、その後の20年の多くを入退院を繰り返して過ごしました。1980年代に病状は和らぎ、1994年、ノーベル経済学賞を2人と共同受賞しました。プレイヤーが互いについてすべてを知らないゲームへ均衡を広げたジョン・ハーサニと、誰も実行しない脅しを排除するよう均衡を精緻化したラインハルト・ゼルテンです。2015年には偏微分方程式の研究でアーベル賞を受け、その授賞式からの帰途、ニュージャージー州で妻アリシアとともに自動車事故で亡くなりました。シルヴィア・ナサーの伝記『ビューティフル・マインド』（1998年）は、2001年にアカデミー賞を受けた映画になりました。経済学者がよく指摘するように、彼が自分の考えを説明するバーの場面で描かれているのは協力する計画で、それはナッシュ均衡ではありません。
生物学者は、同じ論理を動物の中に見つけました。1973年、ジョン・メイナード・スミスとジョージ・プライスはこの論理を使って、食べ物や配偶相手を争う動物がなぜ死ぬまで戦わず、たいてい威嚇で済ませるのかを説明しました。進化的に安定な戦略とは、いったん広まると新しいどんな行動にも負けないナッシュ均衡です。以来、それは実験室でも野生でも観察されています。マンフレッド・ミリンスキー（1979年）は、水槽の両端で異なるペースでイトヨに餌を与え、魚が餌の量に比例して両端に分かれ、どの魚も移動しても得をしないことを示しました。デイヴィッド・ハーパー（1982年）は、ケンブリッジの湖で2か所からパンを投げたとき、マガモが同じようにふるまうのを観察しました。バリー・シネルヴォとカーティス・ライブリー（1996年）は、カリフォルニアのワキモンユタトカゲのオスが、じゃんけんのように互いに循環して勝つ3つの型に分かれ、その数が混合均衡の周りで増減することを発見しました。
本物の賞金がかかった場面で、人々はしばしば予測にかなり近い行動をとります。プロのテニス大会のサーブの研究（マーク・ウォーカーとジョン・ウッダーズ、2001年）や、欧州サッカーのペナルティキックの研究（イグナシオ・パラシオス＝ウエルタ、2003年）では、選手たちがほぼ均衡どおりの比率で方向を混ぜ、相手に付け込まれないようにしていることがわかりました。政府はこの理論をオークションの設計にも使っており、1994年に始まった米国の周波数オークションがその例です。
2軒のカフェが、それぞれ高い価格か低い価格を選びます。両方が高い価格なら各$100、両方が低い価格なら各$60を稼ぎ、一方が低く他方が高いままなら、安いほうが$120、もう一方が$40を稼ぎます。相手がどうしようと低い価格のほうが得なので、両方が低い価格を選び、$60ずつ稼ぎます。両方が高い価格にしていればもっと稼げたのに、これがナッシュ均衡です。
2人の共犯者が別々の部屋で取り調べを受け、互いに話すことはできません。それぞれ黙秘するか自白するかを選べます。表は、選択の組み合わせごとにそれぞれが受ける刑期を示しています。年数が少ないほど良い結果です。
| 相棒: 黙秘する | 相棒: 自白する | |
|---|---|---|
| あなた: 黙秘する | あなた: 1年相棒: 1年 | あなた: 5年相棒: 釈放 |
| あなた: 自白する | あなた: 釈放相棒: 5年 | あなた: 3年相棒: 3年★ ナッシュ均衡 |
まず自分の側から見てみましょう。相棒が黙秘するなら、自白すれば1年ではなく刑期なしで済みます。相棒が自白するなら、自白すれば5年ではなく3年で済みます。どちらにしても自白したほうが得で、同じ数字を前にした相棒も同じように考えます。
そこで2人とも自白し、それぞれ3年服役します。どちらも自分の選択だけを変えて得をすることはできません。1人だけ黙秘に切り替えれば5年になるからです。だから2人とも自白するのがナッシュ均衡です。2人とも黙秘していれば、それぞれ1年で済んだにもかかわらず。安定している状態と、2人にとって最も良い状態とのずれこそが、このジレンマの核心です。
| 考え方 | 意味 | 囚人のジレンマでは |
|---|---|---|
| 支配戦略 | 意味: ほかのプレイヤーが何をしようと、そのプレイヤーにとって最も良い選択。 | 囚人のジレンマでは: 自白すること。相棒が話しても話さなくても、そのほうが得です。 |
| ナッシュ均衡 | 意味: 誰も自分の選択だけを変えて得をすることがない、選択の組み合わせ。 | 囚人のジレンマでは: 2人とも自白し、それぞれ3年。 |
| パレート効率的な結果 | 意味: 誰かを悪くしない限り、誰もより良くなれない結果。 | 囚人のジレンマでは: 2人とも黙秘（それぞれ1年）と、片方が釈放される2つの結果。2人とも自白する結果だけはパレート効率的ではありません。 |
すべてのプレイヤーが支配戦略を持つとき、それを選ぶことはナッシュ均衡になりますが、ほとんどのゲームには支配戦略のない均衡があります。そしてここでのように、ナッシュ均衡がパレート非効率になることもあります。
決まった選択の組み合わせでは安定しないゲームもあります。ペナルティキックで、キッカーがいつも左に蹴るなら、ゴールキーパーはいつも左に跳び、するとキッカーは右に切り替え、これが繰り返されます。抜け出す方法は、予測できなくなることです。双方が、ちょうどよい確率でランダムに選ぶのです。
ちょうどよい確率とは、相手に付け込む余地を残さない確率です。ゴールキーパーがどちらの方向にも同じくらい強いなら、キッカーはそれぞれの方向に半々で蹴るべきです。そうすれば、左に跳んでも右に跳んでも止められるシュートの割合は同じになります。このランダムな選び方の組み合わせが、混合戦略のナッシュ均衡です。ナッシュは、プレイヤーの数と選択肢の数が有限のゲームには、混合を認めれば少なくとも1つの均衡があることを証明しました。
じゃんけんが典型例です。唯一の均衡は、グー、チョキ、パーをそれぞれ3分の1ずつ出すことです。グーに少しでも偏れば、パーを多く出す人に負かされます。
同じ交差点にある2軒のガソリンスタンドが、それぞれ価格を決めます。相手より安くすれば客を奪えるので、どちらも自分だけで値下げや値上げをしても得をしなくなるまで価格が下がり、多くの場合は原価近くになります。これは競争のベルトラン・モデルで、隣り合うスタンドが同じ価格を掲げがちな理由の1つです。
ドライバーはそれぞれ、ほかの全員の選択を前提に最も速いルートを選びます。交通は、誰も1人でルートを変えても時間を節約できないところに落ち着きますが、それが全体として最も速い状態とは限りません。ブライスのパラドックスでは、新しい道路を加えると、ドライバーが近道に殺到するために、かえってすべての移動が遅くなることさえあります。
対立する2国、あるいは競合する2つのブランドは、相手が何をしようと支出を増やしたほうが得なので、両方が大きな支出をし、結局はほぼ元の位置に戻って、貧しくなっただけになります。これは囚人のジレンマで、条約や業界の取り決めは利得を変えようとするものです。
全員が右側を走るのも均衡で、全員が左側を走るのも均衡です。ほかの全員が一方の側を守るなら、あなたもそうします。このようなゲームには複数の均衡があり、国がどちらに行き着くかは歴史が決めます。
落ち着いた価格は一種の均衡です。ほかの全員の行動を前提にすると、買い手も売り手もより良い手を見いだせません。Journey Shares では、価格が落ち着き、ニュースが誰かの最善の手を変えたときに跳ねる様子を見られます。
ボットと6ラウンド対戦します。お互い同時に選びます。2人とも協力すればそれぞれ3点、2人とも裏切ればそれぞれ1点。一方が裏切り、もう一方が協力すると、裏切ったほうが5点、協力したほうが0点です。
✗ 誤解: ナッシュ均衡は最良の結果である。
✓ 実際は: 安定しているだけです。囚人のジレンマでは、均衡は両方のプレイヤーにとって協力するより悪い結果です。
✗ 誤解: どのゲームにも均衡はちょうど1つある。
✓ 実際は: 複数あることも（道路のどちら側を走るか）、決まった選択の中には1つもないこともあります（じゃんけん）。混合を認めれば、どの有限ゲームにも少なくとも1つあります。
✗ 誤解: 人は利己的だと仮定している。
✓ 実際は: 各プレイヤーが自分の利得にとって最善のことをすると仮定しているだけです。プレイヤーが互いを気にかけるなら、それが利得に組み込まれ、均衡が変わります。
✗ 誤解: 『ビューティフル・マインド』のバーの場面はナッシュ均衡を描いている。
✓ 実際は: 映画の作戦では、誰も一番人気の女性に声をかけません。これは安定していません。ほかの仲間が控えている間に、誰か1人が彼女に声をかければ得をするからです。
✗ 誤解: 人は常に均衡どおりに行動する。
✓ 実際は: 現実のプレイヤーは、特に繰り返しのゲームや知り合いとの間では、理論の予測より多く協力することがよくあります。均衡は基準であって、法則ではありません。
ほかの全員の行動を前提にすると、誰もその銘柄の取引の仕方を変えても得をしないとき、価格は落ち着きます。小さなナッシュ均衡です。
価格が安定しているということは、今は誰もより良い手を見つけていないということです。新しい情報や、異なる見方を持つプレイヤーがそれを崩します。
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ほかの全員の行動を前提に、全員が自分にできる最善を尽くしているため、誰も自分だけで選択を変えたくない状態です。
選択の組み合わせをすべて書き出し、それぞれについて、自分の選択だけを変えて得をするプレイヤーがいるかを確かめます。誰も得をしない組み合わせがナッシュ均衡です。
米国の数学者ジョン・ナッシュで、1950年のプリンストン大学での博士論文の中で示しました。この業績で1994年のノーベル経済学賞を共同受賞しました。
各陣営の最善の手がほかの陣営の手しだいで決まるとき、何が起きるかを予測するためです。最初の大きな後ろ盾は、冷戦期のランド研究所での核戦略でした。その後、企業間の競争、交渉、オークション、そして生物学では動物の行動の進化に使われるようになりました。
はい。イトヨとマガモは、均衡が予測する比率で2つの餌場に分かれ、ワキモンユタトカゲのオスは、じゃんけんのように3つの繁殖戦略を循環します。
いいえ。囚人のジレンマでは、均衡は両方のプレイヤーを、協力した場合より悪い状態に置きます。
あります。多くのゲームには複数の均衡があり、プレイヤーがどれに行き着くかは、それまでの経緯や期待によって決まることがあります。
支配戦略は、ほかのプレイヤーが何をしようとそのプレイヤーにとって最善の選択です。ナッシュ均衡は、それぞれの選択が、ほかのプレイヤーの実際の選択を前提に最善であればよいだけです。すべてのプレイヤーが支配戦略を持つとき、それを選ぶことはナッシュ均衡になりますが、多くのゲームには支配戦略のない均衡があります。
いいえ。囚人のジレンマでは2人とも自白することが唯一のナッシュ均衡ですが、2人とも黙秘したほうがそれぞれにとって良い結果になります。
プレイヤーが特定の確率でランダムに選び、その確率が、相手が選択を変えても何も得られないように決まっている均衡です。じゃんけんでは、それぞれの手を3分の1ずつ出すことです。
2人とも自白する（裏切る）ことです。相手が何をしようとそれぞれ自白したほうが得なので、2人とも黙秘したほうが得をするにもかかわらず、どちらも1人では選択を変えません。
これはどの用語でしょう？
“____とは、各プレイヤーの最善の選択がほかのプレイヤーの行動しだいで決まる、戦略的な意思決定の研究です。____が最も有名な例です。”
カテゴリ: 市場構造
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