توازن ناش
توازن ناش مجموعة من الاستراتيجيات لا يستطيع فيها أي لاعب تحسين نتيجته بتغيير استراتيجيته وحده بينما يُبقي الآخرون على استراتيجياتهم. إنه النتيجة المستقرة للعبة.
🌍 في العالم الحقيقي
سُمّي باسم جون ناش، الذي نال بإثباته عام 1950 جائزة نوبل عام 1994. وتوازن ناش ليس دائمًا أفضل نتيجة للجميع، كما تُظهر معضلة السجين.
للعثور عليه، انظر إلى كل تركيبة من الخيارات واسأل: هل سيغيّر أي لاعب خياره بمفرده؟ قد يكون للعبة توازن واحد أو عدة توازنات أو لا شيء بالخيارات الثابتة؛ وقد أثبت ناش أن لكل لعبة منتهية توازنًا واحدًا على الأقل بمجرد السماح للاعبين بخلط خياراتهم عشوائيًا.
الفكرة أقدم من الاسم. ففي عام 1838 وصف الرياضي الفرنسي أنطوان أوغستان كورنو بائعَين لمياه الينابيع يختار كل منهما الكمية التي يبيعها بحسب ما يبيعه الآخر، فيستقران حيث لا يريد أي منهما التغيير: وهذا توازن ناش بلغة اليوم. وفي عام 1928 أثبت جون فون نيومان أن الألعاب الثنائية التي يكون فيها مكسب طرف خسارة الآخر لها دائمًا حل مستقر، وفي عام 1944 نشر مع أوسكار مورغنسترن كتاب «نظرية الألعاب والسلوك الاقتصادي» الذي أسس نظرية الألعاب، لكنه ترك الألعاب ذات اللاعبين الأكثر والمصالح المشتركة جزئيًا دون حل إلى حد كبير.
وُلد جون فوربس ناش الابن عام 1928 في بلوفيلد بولاية فرجينيا الغربية. ووصل إلى برينستون عام 1948 حاملًا توصية من سطر واحد من أستاذه في معهد كارنيغي للتكنولوجيا، ريتشارد دافن: «هذا الرجل عبقري». وفي الحادية والعشرين كتب أطروحة دكتوراه من 28 صفحة بعنوان «الألعاب غير التعاونية» (1950)، وسّعت فكرة التوازن لتشمل أي عدد من اللاعبين قد تتداخل مصالحهم. ونشر النتيجة الأساسية في ورقة من صفحتين في مجلة وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم عام 1950، والنسخة الكاملة في مجلة حوليات الرياضيات عام 1951. وحين عرضها على فون نيومان، يُروى أن الرجل الأكبر سنًا استخف بها قائلًا إنها مجرد مبرهنة نقطة ثابتة.
موّلت الحرب الباردة جزءًا كبيرًا من الأعمال المبكرة. فقد وظّفت مؤسسة RAND، وهي مركز أبحاث موّله سلاح الجو الأمريكي، منظّرين في نظرية الألعاب، كان ناش بينهم مستشارًا، للتفكير في الاستراتيجية النووية، حيث تتوقف أفضل حركة لكل طرف على ما يتوقع أن يفعله الآخر. وفي يناير 1950 اختبر رياضيان في RAND، ميريل فلود وملفين دريشر، الفكرة بلعبة لعبها زميلاهما 100 مرة. كان التوازن أن يهتم كل لاعب بنفسه، ومع ذلك اختارا التعاون في معظم الجولات. ثم روى ألبرت تاكر، المشرف على أطروحة ناش، اللعبة نفسها في صورة قصة عن سجينين، فصارت معضلة السجين.
انقطعت مسيرة ناش عام 1959 بسبب الفصام، وقضى معظم العقدين التاليين بين دخول المستشفى والخروج منه. وخفّ مرضه في الثمانينيات، وفي عام 1994 تقاسم جائزة نوبل في الاقتصاد مع جون هارساني، الذي وسّع التوازن ليشمل الألعاب التي لا يعرف فيها اللاعبون كل شيء بعضهم عن بعض، وراينهارد زيلتن، الذي هذّبه لاستبعاد التهديدات التي لن ينفذها أحد. وفي عام 2015 نال جائزة آبل عن عمله في المعادلات التفاضلية الجزئية، وتوفي هو وزوجته أليشيا في حادث سيارة في نيوجيرسي في طريق عودتهما من تسلّمها. وصارت سيرته «عقل جميل» (1998) التي كتبتها سيلفيا نصار فيلمًا فائزًا بجائزة الأوسكار عام 2001؛ وكثيرًا ما يشير الاقتصاديون إلى أن مشهد الحانة الذي يشرح فيه فكرته يصف خطة للتعاون، وهي ليست توازن ناش.
وجد علماء الأحياء المنطق نفسه لدى الحيوانات. ففي عام 1973 استخدمه جون ماينارد سميث وجورج برايس لتفسير لماذا تكتفي الحيوانات المتنافسة على الغذاء أو الشركاء عادةً بالاستعراض بدلًا من القتال حتى الموت: فالاستراتيجية المستقرة تطوريًا توازن ناش لا يستطيع أي سلوك جديد التغلب عليه بعد انتشاره. وقد شوهد ذلك منذ حينه في المختبر وفي البرية. أطعم مانفريد ميلينسكي (1979) أسماك أبو شوكة عند طرفي حوض بمعدلين مختلفين، فتوزعت الأسماك بين الطرفين بنسبة الطعام، فلم تكسب أي سمكة شيئًا بالانتقال. ورأى ديفيد هاربر (1982) بط البركة على بحيرة في كامبريدج يفعل الشيء نفسه حين رُمي الخبز من موضعين. ووجد باري سينيرفو وكيرتس لايفلي (1996) أن ذكور سحالي جانبية البقع في كاليفورنيا تأتي في ثلاثة أنماط يتغلب كل منها على الآخر في دورة، مثل حجر ورقة مقص، فترتفع أعدادها وتنخفض حول توازن مختلط.
كثيرًا ما يقترب الناس الذين يلعبون برهانات حقيقية من التوقعات. فقد وجدت دراسات عن الإرسال في بطولات التنس الاحترافية (مارك ووكر وجون ووديرز، 2001) وعن ركلات الجزاء في كرة القدم الأوروبية (إغناسيو بالاسيوس-هويرتا، 2003) أن اللاعبين يخلطون اتجاهاتهم تقريبًا كما يقول التوازن، فلا يستطيع الطرف الآخر استغلالهم. واستخدمت الحكومات النظرية لتصميم المزادات، مثل مزادات الطيف الراديوي الأمريكية التي بدأت عام 1994.
مثال
مقهيان يختار كل منهما سعرًا مرتفعًا أو منخفضًا. إذا فرض كلاهما سعرًا مرتفعًا يكسب كل منهما $100؛ وإذا فرض كلاهما سعرًا منخفضًا، $60 لكل منهما؛ وإذا خفّض أحدهما بينما أبقى الآخر السعر مرتفعًا، يكسب الأرخص $120 والآخر $40. أيًا كان ما يفعله المنافس، فالخفض يدفع أكثر، فيخفّض الاثنان ويكسبان $60. هذا هو توازن ناش، رغم أن فرض كليهما سعرًا مرتفعًا كان سيدفع أكثر.
⚖️ معضلة السجين: مصفوفة العوائد
يُستجوب شريكان في جريمة في غرفتين منفصلتين ولا يستطيعان التحدث معًا. يمكن لكل منهما أن يلتزم الصمت أو يعترف. ويُظهر الجدول مدة السجن التي ينالها كل منهما في كل تركيبة من الخيارات؛ والسنوات الأقل أفضل.
| الشريك: التزام الصمت | الشريك: الاعتراف | |
|---|---|---|
| أنت: التزام الصمت | أنت: سنة واحدةالشريك: سنة واحدة | أنت: 5 سنواتالشريك: حر |
| أنت: الاعتراف | أنت: حرالشريك: 5 سنوات | أنت: 3 سنواتالشريك: 3 سنوات★ توازن ناش |
انظر إليها من جهتك أولًا. إذا التزم شريكك الصمت، فالاعتراف يعني ألا تُسجن بدلًا من سنة واحدة. وإذا اعترف شريكك، فالاعتراف يعني 3 سنوات بدلًا من 5. في الحالتين تكون نتيجتك أفضل بالاعتراف، وشريكك، وهو يواجه الأرقام نفسها، يفكر بالطريقة نفسها.
فيعترف الاثنان ويقضي كل منهما 3 سنوات. ولا يستطيع أي منهما تحسين نتيجته بتغيير خياره وحده: فمن يتحول إلى الصمت بمفرده ينال 5 سنوات. وهذا يجعل اعتراف الاثنين توازن ناش، رغم أن التزامهما الصمت كان سيكلّف كلًا منهما سنة واحدة فقط. والفجوة بين ما هو مستقر وما هو الأفضل للاثنين معًا هي جوهر المعضلة كله.
🪜 كيف تجد توازن ناش، خطوة بخطوة
- اكتب اللاعبين، والخيارات المتاحة لكل منهم، والعائد لكل تركيبة. وفي حالة لاعبَين اثنين يكون ذلك جدولًا مثل الجدول أعلاه.
- خذ لاعبًا واحدًا. ولكل خيار قد يتخذه الآخر، علّم أفضل رد لهذا اللاعب: الخيار الذي يمنحه أفضل عائد.
- افعل الشيء نفسه للاعب الآخر.
- أي خانة يكون فيها الخياران معلّمين كأفضل ردّين هي توازن ناش: لا أحد يكسب بالتحول وحده.
- إذا لم تحمل أي خانة العلامتين، فلا يوجد توازن بالخيارات الثابتة. ابحث عن توازن مختلط، يختار فيه اللاعبون عشوائيًا باحتمالات محددة (انظر أدناه).
- إذا انطبق ذلك على عدة خانات، فللعبة عدة توازنات، وأيها ينتهي إليه الناس يتوقف على العادة أو التاريخ أو التوقعات.
🆚 توازن ناش مقابل الاستراتيجية المهيمنة مقابل كفاءة باريتو
| الفكرة | ماذا تعني | في معضلة السجين |
|---|---|---|
| الاستراتيجية المهيمنة | ماذا تعني: خيار هو الأفضل للاعب أيًا كان ما يفعله الآخرون. | في معضلة السجين: الاعتراف: إنه أفضل سواء تكلم شريكك أم لا. |
| توازن ناش | ماذا تعني: مجموعة خيارات لا يكسب فيها أحد بتغيير خياره وحده. | في معضلة السجين: يعترف الاثنان وينال كل منهما 3 سنوات. |
| النتيجة الكفؤة وفق باريتو | ماذا تعني: نتيجة لا يمكن فيها تحسين حال أحد دون الإضرار بآخر. | في معضلة السجين: صمت الاثنين (سنة واحدة لكل منهما)، والنتيجتان اللتان يخرج فيهما أحدهما حرًا. وحده اعتراف الاثنين ليس كذلك. |
عندما يملك كل لاعب استراتيجية مهيمنة، فإن لعبها توازن ناش، لكن لمعظم الألعاب توازنات دون أي استراتيجية مهيمنة. وقد يكون توازن ناش غير كفؤ وفق باريتو، كما هو هنا.
🎲 الاستراتيجيات المختلطة، بكلمات بسيطة
بعض الألعاب ليس فيها زوج مستقر من الخيارات الثابتة. ففي ركلة الجزاء، لو سدد اللاعب دائمًا إلى اليسار، لارتمى الحارس دائمًا إلى اليسار، فيتحول المسدد إلى اليمين، وتدور الحلقة. والمخرج هو أن تكون غير متوقع: يختار كل طرف عشوائيًا، بالاحتمالات الصحيحة.
الاحتمالات الصحيحة هي التي لا تترك للخصم ما يستغله. فإذا كان الحارس بالمهارة نفسها في الاتجاهين، ينبغي أن يسدد المسدد في كل اتجاه نصف المرات؛ عندها يصدّ الارتماء يسارًا أو يمينًا الحصة نفسها من التسديدات. وهذا الزوج من الخلطات العشوائية توازن ناش باستراتيجيات مختلطة. وقد أثبت ناش أن لكل لعبة ذات عدد منتهٍ من اللاعبين والخيارات توازنًا واحدًا على الأقل بمجرد السماح بالخلط.
حجر ورقة مقص هي الحالة الكلاسيكية: التوازن الوحيد هو لعب كل خيار ثلث المرات. وأي ميل نحو الحجر يمكن أن يهزمه من يلعب الورقة أكثر.
🌐 توازنات ناش في الحياة الواقعية
التسعير
محطتا وقود في الزاوية نفسها تختار كل منهما سعرًا. البيع بأقل من الأخرى يكسب الزبائن، فتنخفض الأسعار حتى لا تستطيع أي منهما الكسب بمزيد من الخفض أو بالرفع وحدها، وكثيرًا ما يكون ذلك قريبًا من التكلفة. هذا هو نموذج برتراند للمنافسة، وأحد أسباب ميل المحطات المتجاورة إلى عرض السعر نفسه.
حركة المرور
يختار كل سائق الطريق الأسرع بالنظر إلى خيارات الجميع. وتستقر حركة المرور حيث لا يستطيع أي سائق بمفرده توفير الوقت بالتحول، وهذا ليس دائمًا النمط الأسرع إجمالًا. وفي مفارقة برايس، قد تجعل إضافة طريق جديد كل رحلة أبطأ، لأن السائقين يتزاحمون على الطريق المختصر.
سباقات التسلح وحروب الإعلانات
دولتان متنافستان، أو علامتان تجاريتان متنافستان، تحقق كل منهما نتيجة أفضل بإنفاق المزيد أيًا كان ما تفعله الأخرى، فتنفقان بكثافة وتنتهيان تقريبًا حيث بدأتا، لكن أفقر. إنها معضلة السجين، والمعاهدات أو اتفاقات القطاع تحاول تغيير العوائد.
أي جانب من الطريق
قيادة الجميع على اليمين توازن، وكذلك قيادة الجميع على اليسار: إذا التزم الجميع جانبًا، فستلتزمه أنت أيضًا. ولألعاب كهذه أكثر من توازن، والتاريخ يقرر أيها ينتهي إليه البلد.
الأسواق
السعر الذي استقر نوع من التوازن: بالنظر إلى ما يفعله الجميع، لا يرى أي مشترٍ أو بائع حركة أفضل. وفي Journey Shares يمكنك مشاهدة الأسعار وهي تستقر ثم تقفز حين يغيّر خبرٌ أفضل حركة لأحدهم.
🎲 جرّبها: تتعاون أم تخون؟
العب ست جولات ضد روبوت؛ تختاران كلاكما في الوقت نفسه. إذا تعاونتما: 3 نقاط لكل منكما. وإذا خنتما: نقطة واحدة لكل منكما. وإذا خان أحدكما بينما تعاون الآخر، ينال الخائن 5 والمتعاون 0.
🧐 مفاهيم خاطئة شائعة
✗ خرافة: توازن ناش هو أفضل نتيجة.
✓ في الواقع: إنه مستقر فقط. ففي معضلة السجين يكون التوازن أسوأ للاعبين كليهما من التعاون.
✗ خرافة: لكل لعبة توازن واحد بالضبط.
✓ في الواقع: قد يكون للألعاب عدة توازنات (أي جانب من الطريق تقود عليه) أو لا شيء بالخيارات الثابتة (حجر ورقة مقص). وبمجرد السماح بالخلط، يكون لكل لعبة منتهية توازن واحد على الأقل.
✗ خرافة: يفترض أن الناس أنانيون.
✓ في الواقع: يفترض أن كل لاعب يفعل الأفضل وفق عوائده الخاصة. وإذا اهتم اللاعبون ببعضهم، فإن ذلك يدخل في العوائد، ويتغير التوازن.
✗ خرافة: مشهد الحانة في فيلم «عقل جميل» يُظهر توازن ناش.
✓ في الواقع: في خطة الفيلم لا يقترب أحد من المرأة الأكثر جاذبية. وهذا ليس مستقرًا: فأي واحد من الأصدقاء سيكسب بالاقتراب منها بينما يمتنع الآخرون.
✗ خرافة: يلعب الناس دائمًا التوازن.
✓ في الواقع: كثيرًا ما يتعاون اللاعبون الحقيقيون أكثر مما تتنبأ به النظرية، خاصةً في الألعاب المتكررة أو مع من يعرفونهم. والتوازن معيار مرجعي، لا قانون.
🎮 في Journey Shares
عندما لا يستطيع أي لاعب الكسب بتداول إدراج على نحو مختلف بالنظر إلى ما يفعله الجميع، يستقر سعره: توازن ناش صغير.
🧭 كيف تستخدمه
السعر المستقر يعني أن أحدًا لا يرى حركة أفضل الآن. والمعلومات الجديدة، أو لاعب ذو رأي مختلف، يكسرانه.
🎮 تعلّم توازن ناش بطريقة ممتعة
جرّبه في مدينة حية ثلاثية الأبعاد بأموال افتراضية: تداول أسهمًا في شخصيات عامة حقيقية، وتلقَّ نداء هامش، وادفع ضرائبك واسرق روبوتًا أو اثنين. مجاني، ولا شيء حقيقي على المحك.
❓ أسئلة شائعة
ما توازن ناش بعبارة بسيطة؟
حالة يفعل فيها كل واحد أفضل ما يستطيع بالنظر إلى ما يفعله الآخرون، فلا يريد أحد تغيير خياره بمفرده.
كيف تجد توازن ناش؟
اسرد كل تركيبة من الخيارات، واسأل في كل منها: هل يستطيع أي لاعب تحسين نتيجته بتغيير خياره وحده؟ التركيبة التي لا يستطيع فيها أحد ذلك هي توازن ناش.
من صاحب فكرة توازن ناش؟
الرياضي الأمريكي جون ناش، في عمله للدكتوراه عام 1950 في برينستون. وتقاسم عنه جائزة نوبل في الاقتصاد عام 1994.
لماذا دُرس توازن ناش؟
للتنبؤ بما يحدث عندما تتوقف أفضل حركة لكل طرف على حركات الآخرين. وكان أول راعٍ كبير له الاستراتيجية النووية في مؤسسة RAND خلال الحرب الباردة؛ ثم استُخدم في المنافسة بين الشركات والمساومة والمزادات، وفي علم الأحياء لتطور سلوك الحيوان.
هل شوهد توازن ناش لدى الحيوانات؟
نعم. تتوزع أسماك أبو شوكة وبط البركة بين مصدرين للغذاء بالنسب التي يتنبأ بها التوازن، وتتناوب ذكور سحالي جانبية البقع بين ثلاث استراتيجيات للتزاوج مثل حجر ورقة مقص.
هل توازن ناش دائمًا أفضل نتيجة؟
لا. في معضلة السجين يترك التوازن اللاعبين كليهما في حال أسوأ من التعاون.
هل يمكن أن يكون للعبة أكثر من توازن؟
نعم. لألعاب كثيرة عدة توازنات، وأيها يبلغه اللاعبون قد يتوقف على التاريخ أو التوقعات.
ما الفرق بين توازن ناش والاستراتيجية المهيمنة؟
الاستراتيجية المهيمنة هي الأفضل للاعب أيًا كان ما يفعله الآخرون. أما توازن ناش فلا يتطلب إلا أن يكون كل خيار هو الأفضل بالنظر إلى خيارات الآخرين الفعلية. وعندما يملك كل لاعب استراتيجية مهيمنة، فإن لعبها توازن ناش، لكن لألعاب كثيرة توازنات دون أي استراتيجية مهيمنة.
هل توازن ناش دائمًا كفؤ وفق باريتو؟
لا. في معضلة السجين يكون اعتراف اللاعبين كليهما توازن ناش الوحيد، ومع ذلك فإن التزامهما الصمت كان سيجعل حال كل منهما أفضل.
ما توازن ناش بالاستراتيجيات المختلطة؟
توازن يختار فيه اللاعبون عشوائيًا باحتمالات محددة، مضبوطة بحيث لا يكسب الخصم شيئًا بالتغيير. وفي حجر ورقة مقص يكون بلعب كل خيار ثلث المرات.
ما توازن ناش في معضلة السجين؟
يعترف اللاعبان كلاهما (أو يخونان). كل منهما يحقق نتيجة أفضل بالاعتراف أيًا كان ما يفعله الآخر، فلن يتغير أي منهما وحده، رغم أن التزامهما الصمت يدفع أكثر.
📚 المصادر
- Nash, J. F. (1950). Equilibrium points in n-person games. Proceedings of the National Academy of Sciences 36(1): 48–49.
- Nash, J. F. (1951). Non-cooperative games. Annals of Mathematics 54(2): 286–295.
- von Neumann, J. and Morgenstern, O. (1944). Theory of Games and Economic Behavior. Princeton University Press.
- Flood, M. M. (1952). Some Experimental Games. RAND Corporation, RM-789-1.
- The Prize in Economic Sciences 1994. NobelPrize.org.
- John F. Nash Jr., biographical. NobelPrize.org.
- Nasar, S. (1998). A Beautiful Mind. Simon & Schuster.
- Maynard Smith, J. and Price, G. R. (1973). The logic of animal conflict. Nature 246: 15–18.
- Milinski, M. (1979). An evolutionarily stable feeding strategy in sticklebacks. Zeitschrift für Tierpsychologie 51(1): 36–40.
- Harper, D. G. C. (1982). Competitive foraging in mallards: 'ideal free' ducks. Animal Behaviour 30(2): 575–584.
- Sinervo, B. and Lively, C. M. (1996). The rock–paper–scissors game and the evolution of alternative male strategies. Nature 380: 240–243.
- Walker, M. and Wooders, J. (2001). Minimax play at Wimbledon. American Economic Review 91(5): 1521–1538.
- Palacios-Huerta, I. (2003). Professionals play minimax. Review of Economic Studies 70(2): 395–415.
- Ross, D. Game Theory. Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- Axelrod, R. (1984). The Evolution of Cooperation. Basic Books.
- Bertrand, J. (1883). Review of Théorie mathématique de la richesse sociale and Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses. Journal des Savants 67: 499–508.
- Braess, D. (1968). Über ein Paradoxon aus der Verkehrsplanung. Unternehmensforschung 12: 258–268.
- Further reading: Nash Equilibrium. Investopedia.
🧩 اختبار سريع
ما هذا المصطلح؟
“____ هي دراسة القرارات الاستراتيجية، حيث يتوقف أفضل خيار لكل لاعب على ما يفعله الآخرون. و____ أشهر أمثلتها.”
🔗 مصطلحات ذات صلة
- نظرية الألعاب: نظرية الألعاب هي دراسة القرارات الاستراتيجية، حيث يتوقف أفضل خيار لكل لاعب على ما يفعله الآخرون.
- احتكار القلة: احتكار القلة سوق تهيمن عليها بضع شركات كبيرة، يجب على كل منها أن تحسب حساب ردود فعل الأخرى.
- منافسة كاملة: المنافسة الكاملة سوق فيها بائعون كثيرون لمنتج متماثل، مع حرية الدخول والخروج ومعلومات كاملة، فلا تستطيع أي شركة بمفردها تحديد السعر.
- عدم تماثل المعلومات: عدم تماثل المعلومات هو أن يعرف أحد طرفي الصفقة أكثر من الآخر.
📖 يتعلّم القرّاء أيضًا
الأدلة
الفئات: هيكل السوق
✏️ اقترح تعديلًا🕘 سجل التعديلات
تدرّب بمبلغ $10,000 من الأموال الافتراضية
مجانًا. لا أموال حقيقية.