Równowaga Nasha

Równowaga Nasha to zestaw strategii, w którym żaden gracz nie może poprawić swojego wyniku, zmieniając własną strategię, gdy pozostali trzymają się swoich. To stabilny wynik gry.

🌍 W prawdziwym świecie

Nazwa pochodzi od Johna Nasha, którego dowód z 1950 roku przyniósł mu Nagrodę Nobla w 1994 roku. Równowaga Nasha nie zawsze jest najlepszym wynikiem dla wszystkich, co pokazuje dylemat więźnia.

Aby ją znaleźć, przejrzyj każdą kombinację wyborów i zapytaj, czy któryś gracz zmieniłby zdanie na własną rękę. Gra może mieć jedną równowagę, kilka albo żadnej w ustalonych wyborach; Nash udowodnił, że każda skończona gra ma co najmniej jedną, jeśli gracze mogą losowo mieszać swoje wybory.

Idea jest starsza niż nazwa. W 1838 roku francuski matematyk Antoine Augustin Cournot opisał dwóch sprzedawców wody źródlanej, z których każdy wybiera, ile sprzedać, biorąc pod uwagę, ile sprzedaje drugi, i którzy stabilizują się tam, gdzie żaden nie chce niczego zmieniać: to, w dzisiejszych kategoriach, równowaga Nasha. W 1928 roku John von Neumann udowodnił, że gry dwuosobowe, w których zysk jednej strony jest stratą drugiej, zawsze mają stabilne rozwiązanie, a w 1944 roku wraz z Oskarem Morgensternem wydał „Theory of Games and Economic Behavior”, książkę, która dała początek teorii gier, ale pozostawiła w dużej mierze nierozwiązane gry z większą liczbą graczy i częściowo wspólnymi interesami.

John Forbes Nash Jr. urodził się w 1928 roku w Bluefield w Wirginii Zachodniej. Przyjechał do Princeton w 1948 roku z jednozdaniową rekomendacją od swojego profesora z Carnegie Tech, Richarda Duffina: „Ten człowiek jest geniuszem”. W wieku 21 lat napisał 28-stronicową rozprawę doktorską „Non-Cooperative Games” (1950), która rozszerzyła pojęcie równowagi na dowolną liczbę graczy, których interesy mogą się częściowo pokrywać. Główny wynik opublikował w 1950 roku w dwustronicowym artykule w Proceedings of the National Academy of Sciences, a pełną wersję w 1951 roku w Annals of Mathematics. Gdy pokazał go von Neumannowi, starszy uczony podobno zbył go stwierdzeniem, że to tylko twierdzenie o punkcie stałym.

Znaczną część wczesnych prac sfinansowała zimna wojna. RAND Corporation, ośrodek badawczy finansowany przez Siły Powietrzne USA, zatrudniała teoretyków gier, wśród nich Nasha jako konsultanta, do analizowania strategii nuklearnej, w której najlepszy ruch każdej strony zależy od tego, czego spodziewa się po drugiej. W styczniu 1950 roku dwaj matematycy z RAND, Merrill Flood i Melvin Dresher, sprawdzili tę ideę na grze, którą ich koledzy rozegrali 100 razy. Równowaga polegała na tym, że obaj gracze dbają o siebie, a jednak w większości rund wybierali współpracę. Albert Tucker, promotor Nasha, opowiedział później tę samą grę jako historię o dwóch więźniach i tak powstał dylemat więźnia.

Karierę Nasha przerwała w 1959 roku schizofrenia i przez większość kolejnych dwóch dekad wielokrotnie trafiał do szpitala. W latach 80. jego choroba złagodniała, a w 1994 roku podzielił Nagrodę Nobla z ekonomii z Johnem Harsanyim, który rozszerzył pojęcie równowagi na gry, w których gracze nie wiedzą o sobie wszystkiego, i Reinhardem Seltenem, który doprecyzował je tak, by wykluczyć groźby, których nikt by nie spełnił. W 2015 roku otrzymał Nagrodę Abela za prace nad równaniami różniczkowymi cząstkowymi, a on i jego żona Alicia zginęli w wypadku samochodowym w New Jersey w drodze powrotnej z jej odbioru. Biografia autorstwa Sylvii Nasar „Piękny umysł” (1998) została w 2001 roku przeniesiona na ekran w nagrodzonym Oscarem filmie; ekonomiści często zwracają uwagę, że scena w barze, w której Nash wyjaśnia swoją ideę, opisuje plan współpracy, który równowagą Nasha nie jest.

Biolodzy odkryli tę samą logikę u zwierząt. W 1973 roku John Maynard Smith i George Price wykorzystali ją, by wyjaśnić, dlaczego zwierzęta rywalizujące o pokarm lub partnerów zwykle prężą się i grożą, zamiast walczyć na śmierć: strategia ewolucyjnie stabilna to równowaga Nasha, której żadne nowe zachowanie nie pokona, gdy już się rozpowszechni. Od tamtej pory obserwowano ją w laboratorium i w naturze. Manfred Milinski (1979) karmił cierniki na obu końcach akwarium w różnym tempie, a ryby rozdzieliły się między końce proporcjonalnie do ilości pokarmu, tak że żadna nie zyskiwała na przepłynięciu. David Harper (1982) zobaczył, że kaczki krzyżówki na jeziorze w Cambridge robią to samo, gdy chleb rzuca się z dwóch miejsc. Barry Sinervo i Curtis Lively (1996) odkryli, że samce jaszczurki Uta stansburiana z Kalifornii występują w trzech typach, które pokonują się nawzajem w cyklu, jak w grze w papier, kamień, nożyce, więc ich liczebność waha się wokół równowagi mieszanej.

Ludzie grający o prawdziwą stawkę często zbliżają się do przewidywań. Badania serwisów na profesjonalnych turniejach tenisowych (Mark Walker i John Wooders, 2001) i rzutów karnych w europejskiej piłce nożnej (Ignacio Palacios-Huerta, 2003) wykazały, że zawodnicy mieszają kierunki mniej więcej tak, jak wskazuje równowaga, więc druga strona nie może tego wykorzystać. Rządy stosowały tę teorię do projektowania aukcji, takich jak amerykańskie aukcje częstotliwości radiowych, które rozpoczęły się w 1994 roku.