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Um equilíbrio de Nash é um conjunto de estratégias em que nenhum jogador consegue se sair melhor mudando a própria estratégia enquanto os outros mantêm as suas. É o resultado estável de um jogo.
Leva o nome de John Nash, cuja demonstração de 1950 lhe rendeu o Prêmio Nobel de 1994. Um equilíbrio de Nash nem sempre é o melhor resultado para todos, como mostra o dilema do prisioneiro.
Para encontrar um, olhe cada combinação de escolhas e pergunte se algum jogador mudaria sozinho. Um jogo pode ter um equilíbrio, vários ou nenhum em escolhas fixas; Nash provou que todo jogo finito tem pelo menos um quando os jogadores podem misturar suas escolhas ao acaso.
A ideia é mais antiga que o nome. Em 1838, o matemático francês Antoine Augustin Cournot descreveu dois vendedores de água de fonte que escolhem quanto vender considerando o que o outro vende e se acomodam onde nenhum quer mudar: um equilíbrio de Nash, nos termos de hoje. Em 1928, John von Neumann provou que os jogos de dois jogadores em que o ganho de um lado é a perda do outro sempre têm uma solução estável, e, em 1944, ele e Oskar Morgenstern publicaram Theory of Games and Economic Behavior, que fundou a teoria dos jogos, mas deixou em grande parte sem solução os jogos com mais jogadores e interesses parcialmente comuns.
John Forbes Nash Jr. nasceu em 1928 em Bluefield, na Virgínia Ocidental. Chegou a Princeton em 1948 com uma carta de recomendação de uma linha de seu professor no Carnegie Tech, Richard Duffin: “Este homem é um gênio.” Aos 21 anos, escreveu uma tese de doutorado de 28 páginas, Non-Cooperative Games (1950), que estendeu a ideia de equilíbrio a qualquer número de jogadores cujos interesses podem se sobrepor. Publicou o resultado central num artigo de duas páginas nos Proceedings of the National Academy of Sciences em 1950 e a versão completa nos Annals of Mathematics em 1951. Quando o mostrou a von Neumann, o mais velho teria descartado o trabalho como apenas um teorema de ponto fixo.
Boa parte do trabalho inicial foi financiada pela Guerra Fria. A RAND Corporation, um centro de pesquisa bancado pela Força Aérea dos EUA, contratou teóricos dos jogos, entre eles Nash como consultor, para pensar a estratégia nuclear, em que o melhor lance de cada lado depende do que ele espera que o outro faça. Em janeiro de 1950, dois matemáticos da RAND, Merrill Flood e Melvin Dresher, testaram a ideia com um jogo que seus colegas jogaram 100 vezes. O equilíbrio era cada jogador cuidar de si, mas eles escolheram cooperar na maioria das rodadas. Albert Tucker, orientador da tese de Nash, contou depois o mesmo jogo como a história de dois presos, e ele virou o dilema do prisioneiro.
A carreira de Nash foi interrompida em 1959 pela esquizofrenia, e ele passou boa parte das duas décadas seguintes entrando e saindo de hospitais. A doença se atenuou nos anos 1980, e em 1994 ele dividiu o Prêmio Nobel de Economia com John Harsanyi, que estendeu o equilíbrio a jogos em que os jogadores não sabem tudo uns sobre os outros, e Reinhard Selten, que o refinou para descartar ameaças que ninguém cumpriria. Em 2015, recebeu o Prêmio Abel por seu trabalho em equações diferenciais parciais, e ele e a esposa, Alicia, morreram num acidente de carro em Nova Jersey, voltando para casa depois de recebê-lo. A biografia de Sylvia Nasar, Uma Mente Brilhante (1998), virou um filme premiado com o Oscar em 2001; os economistas costumam observar que a cena do bar em que ele explica sua ideia descreve um plano de cooperação, que não é um equilíbrio de Nash.
Os biólogos encontraram a mesma lógica nos animais. Em 1973, John Maynard Smith e George Price a usaram para explicar por que animais que disputam comida ou parceiros geralmente fazem ameaças em vez de lutar até a morte: uma estratégia evolutivamente estável é um equilíbrio de Nash que nenhum comportamento novo consegue vencer depois de se espalhar. Desde então, ela foi observada em laboratório e na natureza. Manfred Milinski (1979) alimentou esgana-gatas nas duas pontas de um aquário em ritmos diferentes, e os peixes se dividiram entre as pontas na proporção da comida, de modo que nenhum peixe ganhava ao mudar de lado. David Harper (1982) viu patos-reais num lago em Cambridge fazerem o mesmo quando se jogava pão de dois pontos. Barry Sinervo e Curtis Lively (1996) descobriram que os machos de uma espécie de lagarto da Califórnia (Uta stansburiana) aparecem em três tipos que se vencem em ciclo, como pedra, papel e tesoura, então seus números sobem e descem em torno de um equilíbrio misto.
Pessoas jogando por apostas reais muitas vezes chegam perto das previsões. Estudos sobre saques em torneios profissionais de tênis (Mark Walker e John Wooders, 2001) e sobre pênaltis no futebol europeu (Ignacio Palacios-Huerta, 2003) concluíram que os jogadores variam as direções mais ou menos como o equilíbrio indica, de modo que o outro lado não consegue explorá-los. Os governos usaram a teoria para desenhar leilões, como os leilões de espectro de rádio dos EUA, iniciados em 1994.
Dois cafés escolhem, cada um, um preço alto ou baixo. Se os dois cobram alto, cada um ganha US$ 100; se os dois cobram baixo, US$ 60 cada; se um baixa enquanto o outro fica no alto, o barato ganha US$ 120 e o outro US$ 40. Faça o rival o que fizer, baixar o preço paga mais, então os dois baixam e ganham US$ 60. Esse é o equilíbrio de Nash, embora os dois cobrarem alto tivesse rendido mais.
Dois parceiros de crime são interrogados em salas separadas e não podem se falar. Cada um pode ficar calado ou confessar. A tabela mostra a pena de prisão que cada um recebe em cada combinação de escolhas; menos anos é melhor.
| Parceiro: Ficar calado | Parceiro: Confessar | |
|---|---|---|
| Você: Ficar calado | Você: 1 anoParceiro: 1 ano | Você: 5 anosParceiro: livre |
| Você: Confessar | Você: livreParceiro: 5 anos | Você: 3 anosParceiro: 3 anos★ Equilíbrio de Nash |
Olhe primeiro pelo seu lado. Se o seu parceiro ficar calado, confessar deixa você livre em vez de 1 ano. Se o seu parceiro confessar, confessar dá a você 3 anos em vez de 5. Nos dois casos você se sai melhor confessando, e o seu parceiro, diante dos mesmos números, raciocina do mesmo jeito.
Então os dois confessam e cumprem 3 anos cada. Nenhum dos dois consegue se sair melhor mudando só a própria escolha: quem passasse sozinho para o silêncio pegaria 5 anos. Isso faz dos dois confessando o equilíbrio de Nash, embora os dois ficarem calados custasse a cada um apenas 1 ano. A distância entre o que é estável e o que é melhor para a dupla é todo o sentido do dilema.
| Ideia | O que significa | No dilema do prisioneiro |
|---|---|---|
| Estratégia dominante | O que significa: Uma escolha que é a melhor para um jogador, façam os outros o que fizerem. | No dilema do prisioneiro: Confessar: é melhor quer o seu parceiro fale, quer não. |
| Equilíbrio de Nash | O que significa: Um conjunto de escolhas em que ninguém ganha mudando só a sua. | No dilema do prisioneiro: Os dois confessam e pegam 3 anos cada. |
| Resultado eficiente de Pareto | O que significa: Um resultado em que ninguém pode ficar melhor sem que outra pessoa fique pior. | No dilema do prisioneiro: Os dois calados (1 ano cada) e os dois resultados em que um sai livre. Só os dois confessando não é. |
Quando todo jogador tem uma estratégia dominante, jogá-las é um equilíbrio de Nash, mas a maioria dos jogos tem equilíbrios sem nenhuma estratégia dominante. E um equilíbrio de Nash pode ser ineficiente no sentido de Pareto, como é aqui.
Alguns jogos não têm nenhum par estável de escolhas fixas. Num pênalti, se o batedor sempre chutasse à esquerda, o goleiro sempre pularia para a esquerda, então o batedor passaria a chutar à direita, e assim por diante. A saída é ser imprevisível: cada lado escolhe ao acaso, com as probabilidades certas.
As probabilidades certas são as que não deixam ao adversário nada para explorar. Se um goleiro é igualmente bom para os dois lados, o batedor deve chutar para cada lado metade das vezes; assim, pular para a esquerda ou para a direita defende a mesma parcela dos chutes. Esse par de combinações aleatórias é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas. Nash provou que todo jogo com um número finito de jogadores e de escolhas tem pelo menos um equilíbrio quando a mistura é permitida.
Pedra, papel e tesoura é o caso clássico: o único equilíbrio é jogar cada opção um terço das vezes. Qualquer inclinação para a pedra pode ser vencida por alguém que jogue mais papel.
Dois postos de gasolina na mesma esquina escolhem, cada um, um preço. Cobrar menos que o outro atrai clientes, então os preços caem até que nenhum consiga ganhar cortando mais ou subindo sozinho, muitas vezes perto do custo. Esse é o modelo de concorrência de Bertrand, e um dos motivos pelos quais postos lado a lado tendem a mostrar o mesmo preço.
Cada motorista escolhe o caminho mais rápido considerando as escolhas de todos os outros. O trânsito se acomoda onde nenhum motorista sozinho consegue ganhar tempo mudando de rota, o que nem sempre é o padrão mais rápido no conjunto. No paradoxo de Braess, acrescentar uma nova via pode até deixar todas as viagens mais lentas, porque os motoristas se amontoam no atalho.
Dois países rivais, ou duas marcas rivais, se saem melhor gastando mais, faça o outro o que fizer, então os dois gastam muito e terminam mais ou menos onde começaram, só que mais pobres. É um dilema do prisioneiro, e tratados ou acordos setoriais tentam mudar os payoffs.
Todos dirigindo pela direita é um equilíbrio, e todos dirigindo pela esquerda também: se todos os outros mantêm um lado, você também mantém. Jogos assim têm mais de um equilíbrio, e a história decide em qual deles um país vai parar.
Um preço que se acomodou é um tipo de equilíbrio: considerando o que todos os outros estão fazendo, nenhum comprador ou vendedor vê um lance melhor. No Journey Shares, você pode ver os preços se acomodarem e depois saltarem quando uma notícia muda o melhor lance de alguém.
Jogue seis rodadas contra um bot; vocês dois escolhem ao mesmo tempo. Os dois cooperam: 3 pontos cada. Os dois traem: 1 ponto cada. Se um trai enquanto o outro coopera, quem traiu ganha 5 e quem cooperou, 0.
✗ Mito: Um equilíbrio de Nash é o melhor resultado.
✓ Na verdade: Ele é só estável. No dilema do prisioneiro, o equilíbrio é pior para os dois jogadores do que cooperar.
✗ Mito: Todo jogo tem exatamente um.
✓ Na verdade: Os jogos podem ter vários (de que lado da rua dirigir) ou nenhum em escolhas fixas (pedra, papel e tesoura). Quando a mistura é permitida, todo jogo finito tem pelo menos um.
✗ Mito: Ele supõe que as pessoas são egoístas.
✓ Na verdade: Ele supõe que cada jogador faz o que é melhor segundo os próprios payoffs. Se os jogadores se importam uns com os outros, isso entra nos payoffs, e o equilíbrio muda.
✗ Mito: A cena do bar em Uma Mente Brilhante mostra um equilíbrio de Nash.
✓ Na verdade: No plano do filme, ninguém se aproxima da moça mais disputada. Isso não é estável: qualquer um dos amigos ganharia se aproximando dela enquanto os outros se seguram.
✗ Mito: As pessoas sempre jogam o equilíbrio.
✓ Na verdade: Os jogadores reais muitas vezes cooperam mais do que a teoria prevê, principalmente em jogos repetidos ou com pessoas que conhecem. O equilíbrio é uma referência, não uma lei.
Quando nenhum jogador consegue ganhar negociando uma listagem de outra forma, dado o que todos os outros estão fazendo, o preço dela se acomoda: um pequeno equilíbrio de Nash.
Um preço estável significa que ninguém vê um lance melhor agora. Uma informação nova, ou um jogador com outra visão, o quebra.
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É uma situação em que todos estão fazendo o melhor possível dado o que os outros estão fazendo, então ninguém quer mudar sozinho de escolha.
Liste todas as combinações de escolhas e, para cada uma, pergunte se algum jogador se sairia melhor mudando só a própria escolha. Uma combinação em que ninguém consegue isso é um equilíbrio de Nash.
O matemático americano John Nash, em seu doutorado de 1950 em Princeton. Por ele, dividiu o Prêmio Nobel de Economia de 1994.
Para prever o que acontece quando o melhor lance de cada lado depende dos outros. Seu primeiro grande patrocinador foi a estratégia nuclear da RAND Corporation durante a Guerra Fria; depois ele foi usado na concorrência entre empresas, em negociações, leilões e, na biologia, na evolução do comportamento animal.
Sim. Esgana-gatas e patos-reais se dividem entre duas fontes de comida nas proporções que o equilíbrio prevê, e os machos de uma espécie de lagarto da Califórnia alternam três estratégias de acasalamento como pedra, papel e tesoura.
Não. No dilema do prisioneiro, o equilíbrio deixa os dois jogadores pior do que se cooperassem.
Sim. Muitos jogos têm vários, e qual deles os jogadores alcançam pode depender da história ou das expectativas.
Uma estratégia dominante é a melhor para um jogador, façam os outros o que fizerem. Um equilíbrio de Nash só exige que cada escolha seja a melhor dadas as escolhas reais dos outros. Quando todo jogador tem uma estratégia dominante, jogá-las é um equilíbrio de Nash, mas muitos jogos têm equilíbrios sem nenhuma estratégia dominante.
Não. No dilema do prisioneiro, os dois jogadores confessarem é o único equilíbrio de Nash, mas os dois ficarem calados deixaria cada um deles em situação melhor.
Um equilíbrio em que os jogadores escolhem ao acaso com determinadas probabilidades, definidas de modo que o adversário não ganhe nada mudando. Em pedra, papel e tesoura, é jogar cada opção um terço das vezes.
Os dois jogadores confessam (ou traem). Cada um se sai melhor confessando, faça o outro o que fizer, então nenhum vai mudar sozinho, embora os dois ficarem calados pague mais.
Que termo é este?
“____ é o estudo das decisões estratégicas, em que a melhor escolha de cada jogador depende do que os outros fazem. O ____ é seu exemplo mais famoso.”
Categorias: Estrutura de mercado
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