Категорії
Посібники
Рівновага Неша — це набір стратегій, за якого жоден гравець не може покращити свій результат, змінивши лише власну стратегію, поки інші зберігають свої. Це стійкий результат гри.
Названа на честь Джона Неша, чиє доведення 1950 року принесло йому Нобелівську премію 1994 року. Рівновага Неша не завжди найкращий результат для всіх, як показує дилема в'язня.
Щоб її знайти, перегляньте кожну комбінацію виборів і запитайте, чи не захоче якийсь гравець змінити свій вибір самостійно. Гра може мати одну рівновагу, кілька або жодної серед фіксованих виборів; Неш довів, що кожна скінченна гра має щонайменше одну, якщо гравцям дозволено змішувати свої вибори випадково.
Ідея старша за назву. У 1838 році французький математик Антуан Огюстен Курно описав двох продавців джерельної води, кожен з яких обирає, скільки продати, з огляду на продажі іншого, і обидва зупиняються там, де ніхто не хоче нічого змінювати, — сьогодні ми назвали б це рівновагою Неша. У 1928 році Джон фон Нейман довів, що ігри двох гравців, у яких виграш однієї сторони — програш іншої, завжди мають стійкий розв'язок, а в 1944 році він разом з Оскаром Моргенштерном видав «Теорію ігор і економічну поведінку», яка заснувала теорію ігор, але залишила здебільшого нерозв'язаними ігри з більшою кількістю гравців і частково спільними інтересами.
Джон Форбс Неш-молодший народився 1928 року в Блюфілді, Західна Вірджинія. До Принстона він прибув 1948 року з однорядковою рекомендацією від свого викладача в Технологічному інституті Карнегі Річарда Даффіна: «Ця людина — геній». У 21 рік він написав 28-сторінкову докторську дисертацію «Некооперативні ігри» (1950), яка поширила ідею рівноваги на будь-яку кількість гравців, чиї інтереси можуть перетинатися. Основний результат він опублікував у двосторінковій статті в Proceedings of the National Academy of Sciences у 1950 році, а повну версію — в Annals of Mathematics у 1951-му. Коли він показав роботу фон Нейману, старший колега, за переказами, відмахнувся від неї як від звичайної теореми про нерухому точку.
Значну частину ранніх досліджень оплатила холодна війна. Корпорація RAND, дослідницький центр, який фінансували Повітряні сили США, наймала фахівців із теорії ігор, серед них і Неша як консультанта, щоб розмірковувати про ядерну стратегію, де найкращий хід кожної сторони залежить від того, чого вона чекає від іншої. У січні 1950 року двоє математиків RAND, Меррілл Флуд і Мелвін Дрешер, перевірили ідею на грі, яку їхні колеги зіграли 100 разів. Рівновага полягала в тому, щоб кожен гравець дбав лише про себе, проте в більшості раундів вони обирали співпрацю. Альберт Таккер, науковий керівник Неша, згодом переказав ту саму гру як історію про двох в'язнів, і так з'явилася дилема в'язня.
Кар'єру Неша в 1959 році перервала шизофренія, і більшу частину наступних двох десятиліть він то потрапляв до лікарні, то виходив звідти. У 1980-х роках хвороба відступила, а в 1994 році він розділив Нобелівську премію з економіки з Джоном Харшаньї, який поширив рівновагу на ігри, де гравці знають одне про одного не все, і Райнгардом Зельтеном, який уточнив її, щоб виключити погрози, яких ніхто не виконав би. У 2015 році він отримав Абелівську премію за роботи з диференціальних рівнянь із частинними похідними, і він разом із дружиною Алісією загинув в автокатастрофі в Нью-Джерсі дорогою додому з церемонії її вручення. Біографія, яку написала Сильвія Насар, «A Beautiful Mind» (1998), у 2001 році стала оскароносним фільмом «Ігри розуму»; економісти часто зауважують, що сцена в барі, де він пояснює свою ідею, описує план співпраці, який рівновагою Неша не є.
Біологи знайшли ту саму логіку у тварин. У 1973 році Джон Мейнард Сміт і Джордж Прайс пояснили з її допомогою, чому тварини, що змагаються за їжу чи партнерів, зазвичай радше демонструють силу, ніж б'ються на смерть: еволюційно стабільна стратегія — це рівновага Неша, яку не може перемогти жодна нова поведінка, щойно вона поширилася. Відтоді її спостерігали і в лабораторії, і в дикій природі. Манфред Мілінскі (1979) годував колючок із двох кінців акваріума з різною швидкістю, і риби розподілялися між кінцями пропорційно до корму, тож жодна риба нічого не вигравала від переміщення. Девід Гарпер (1982) бачив, як качки-крижні на озері в Кембриджі робили те саме, коли хліб кидали з двох місць. Баррі Сінерво й Кертіс Лайвлі (1996) виявили, що самці каліфорнійських плямистобоких ящірок бувають трьох типів, які перемагають один одного по колу, як у «камінь, ножиці, папір», тож їхня чисельність коливається навколо змішаної рівноваги.
Люди, які грають на реальні ставки, часто наближаються до передбачень. Дослідження подач на професійних тенісних турнірах (Марк Вокер і Джон Вудерс, 2001) і пенальті в європейському футболі (Ігнасіо Паласіос-Уерта, 2003) показали, що гравці змішують напрямки приблизно так, як каже рівновага, тож суперник не може цим скористатися. Уряди застосовували теорію для розроблення аукціонів, як-от американських аукціонів радіочастот, що почалися в 1994 році.
Дві кав'ярні обирають високу чи низьку ціну. Якщо обидві ставлять високу, кожна заробляє $100; якщо обидві низьку — по $60; якщо одна знижує ціну, а інша тримає високу, дешевша заробляє $120, а інша — $40. Хоч би що зробив суперник, низька ціна вигідніша, тож обидві знижують ціни й заробляють по $60. Це рівновага Неша, хоча висока ціна в обох принесла б більше.
Двох спільників допитують в окремих кімнатах, і вони не можуть порозумітися. Кожен може мовчати або зізнатися. Таблиця показує строк ув'язнення кожного за будь-якої комбінації виборів; що менше років, то краще.
| Спільник: Мовчати | Спільник: Зізнатися | |
|---|---|---|
| Ви: Мовчати | Ви: 1 рікСпільник: 1 рік | Ви: 5 роківСпільник: на волі |
| Ви: Зізнатися | Ви: на воліСпільник: 5 років | Ви: 3 рокиСпільник: 3 роки★ Рівновага Неша |
Спершу погляньте зі свого боку. Якщо спільник мовчить, зізнання звільняє вас від строку замість 1 року. Якщо спільник зізнається, зізнання дає вам 3 роки замість 5. Хоч як, а зізнатися вигідніше, і ваш спільник, бачачи ті самі цифри, міркує так само.
Отже, обидва зізнаються й отримують по 3 роки. Жоден не може покращити свій результат, змінивши лише власний вибір: той, хто сам перейшов би на мовчання, отримав би 5 років. Тому зізнання обох — це рівновага Неша, хоча мовчання обох коштувало б кожному лише 1 рік. Розрив між стійким і найкращим для пари результатом — уся суть дилеми.
| Поняття | Що воно означає | У дилемі в'язня |
|---|---|---|
| Домінантна стратегія | Що воно означає: Вибір, найкращий для гравця незалежно від того, що роблять інші. | У дилемі в'язня: Зізнатися: це краще, хоч би говорив спільник, хоч би ні. |
| Рівновага Неша | Що воно означає: Набір виборів, за якого ніхто не виграє, змінивши лише власний. | У дилемі в'язня: Обидва зізнаються й отримують по 3 роки. |
| Ефективний за Парето результат | Що воно означає: Такий, у якому нікому не можна зробити краще, не зробивши гірше комусь іншому. | У дилемі в'язня: Обидва мовчать (по 1 року), а також два результати, де один виходить на волю. Не ефективне лише зізнання обох. |
Коли кожен гравець має домінантну стратегію, їх виконання — рівновага Неша, але більшість ігор мають рівноваги без жодної домінантної стратегії. А рівновага Неша може бути неефективною за Парето, як тут.
Деякі ігри не мають стійкої пари фіксованих виборів. Під час пенальті, якби бомбардир завжди бив ліворуч, воротар завжди стрибав би ліворуч, тож бомбардир перейшов би праворуч, і так по колу. Вихід — бути непередбачуваним: кожна сторона обирає навмання з правильними ймовірностями.
Правильні ймовірності — ті, що не залишають супернику чим скористатися. Якщо воротар однаково добре стрибає в обидва боки, бомбардирові варто бити в кожен бік у половині випадків; тоді стрибок ліворуч чи праворуч рятує однакову частку ударів. Така пара випадкових сумішей — це рівновага Неша в змішаних стратегіях. Неш довів, що кожна гра зі скінченною кількістю гравців і виборів має щонайменше одну рівновагу, якщо дозволено змішувати.
«Камінь, ножиці, папір» — класичний приклад: єдина рівновага — показувати кожен варіант у третині випадків. Будь-який нахил до каменя може обіграти той, хто частіше показує папір.
Дві заправки на одному перехресті обирають ціну. Демпінг переманює клієнтів, тож ціни падають, доки жодна не може виграти ні подальшим зниженням, ні самостійним підвищенням, — часто майже до собівартості. Це модель конкуренції Бертрана й одна з причин, чому сусідні заправки зазвичай мають однакову ціну.
Кожен водій обирає маршрут, найшвидший з огляду на вибір усіх інших. Рух стабілізується там, де жоден окремий водій не може заощадити час, змінивши маршрут, і це не завжди найшвидша картина загалом. У парадоксі Браеса нова дорога може навіть зробити кожну поїздку повільнішою, бо водії скупчуються на «короткому шляху».
Двом країнам-суперницям чи двом брендам-конкурентам вигідніше витрачати більше, хоч би що робив інший, тож обидва витрачають багато й опиняються приблизно там, де були, лише біднішими. Це дилема в'язня, і договори чи галузеві угоди намагаються змінити виграші.
Рух усіх правим боком — рівновага, і рух усіх лівим — теж: якщо всі інші тримаються одного боку, тримаєтеся його й ви. Такі ігри мають більше ніж одну рівновагу, і в якій опиниться країна, вирішує історія.
Ціна, що стабілізувалася, — свого роду рівновага: з огляду на дії всіх інших жоден покупець чи продавець не бачить кращого ходу. У Journey Shares можна спостерігати, як ціни стабілізуються, а потім стрибають, коли новини змінюють чийсь найкращий хід.
Зіграйте шість раундів проти бота; ви обираєте одночасно. Обидва співпрацюють — по 3 бали. Обидва зраджують — по 1 балу. Якщо один зраджує, а інший співпрацює, зрадник отримує 5, а той, хто співпрацював, — 0.
✗ Міф: Рівновага Неша — найкращий результат.
✓ Насправді: Вона лише стійка. У дилемі в'язня рівновага гірша для обох гравців, ніж співпраця.
✗ Міф: Кожна гра має рівно одну рівновагу.
✓ Насправді: Ігри можуть мати кілька рівноваг (яким боком дороги їздити) або жодної у фіксованих виборах («камінь, ножиці, папір»). Якщо дозволено змішувати, кожна скінченна гра має щонайменше одну.
✗ Міф: Вона припускає, що люди егоїстичні.
✓ Насправді: Вона припускає, що кожен гравець робить найкраще з огляду на власні виграші. Якщо гравцям не байдуже одне до одного, це входить у виграші, і рівновага змінюється.
✗ Міф: Сцена в барі у фільмі «Ігри розуму» показує рівновагу Неша.
✓ Насправді: За планом із фільму ніхто не підходить до найпопулярнішої дівчини. Це нестійко: будь-хто з друзів виграв би, підійшовши до неї, поки інші стримуються.
✗ Міф: Люди завжди грають рівновагу.
✓ Насправді: Справжні гравці часто співпрацюють більше, ніж передбачає теорія, особливо в повторюваних іграх чи з людьми, яких знають. Рівновага — це орієнтир, а не закон.
Коли жоден гравець не може виграти, торгуючи лістингом інакше з огляду на дії всіх інших, його ціна стабілізується: маленька рівновага Неша.
Стабільна ціна означає, що просто зараз ніхто не бачить кращого ходу. Нова інформація чи гравець з іншим поглядом її порушує.
🎮 Вивчайте «Рівновага Неша» у грі
Спробуйте в живому 3D-місті за ігрові гроші: торгуйте акціями реальних публічних людей, отримайте маржин-кол, сплатіть податки й пограбуйте бота-другого. Безкоштовно, і нічого справжнього не на кону.
Це ситуація, коли кожен робить найкраще, що може, з огляду на дії всіх інших, тож ніхто не хоче самостійно змінювати свій вибір.
Перелічіть усі комбінації виборів і для кожної запитайте, чи міг би якийсь гравець покращити результат, змінивши лише власний вибір. Комбінація, де ніхто не може, — це рівновага Неша.
Американський математик Джон Неш у своїй докторській роботі 1950 року в Принстоні. За неї він розділив Нобелівську премію з економіки 1994 року.
Щоб передбачати, що станеться, коли найкращий хід кожної сторони залежить від ходів інших. Першим великим замовником була ядерна стратегія в корпорації RAND під час холодної війни; потім її застосували до конкуренції фірм, переговорів, аукціонів, а в біології — до еволюції поведінки тварин.
Так. Колючки й качки-крижні розподіляються між двома джерелами корму в пропорціях, які передбачає рівновага, а самці плямистобоких ящірок циклічно змінюють три шлюбні стратегії, як у «камінь, ножиці, папір».
Ні. У дилемі в'язня рівновага залишає обох гравців у гіршому становищі, ніж співпраця.
Так. Багато ігор мають кілька, і те, до якої дійдуть гравці, може залежати від історії чи очікувань.
Домінантна стратегія найкраща для гравця незалежно від того, що роблять інші. Рівновага Неша вимагає лише, щоб кожен вибір був найкращим з огляду на фактичні вибори інших. Коли кожен гравець має домінантну стратегію, їх виконання — рівновага Неша, але багато ігор мають рівноваги без жодної домінантної стратегії.
Ні. У дилемі в'язня зізнання обох гравців — єдина рівновага Неша, проте мовчання обох зробило б кожному краще.
Рівновага, у якій гравці обирають навмання з певними ймовірностями, підібраними так, щоб супротивник нічого не виграв від зміни. У «камінь, ножиці, папір» це показ кожного варіанта в третині випадків.
Обидва гравці зізнаються (тобто зраджують). Кожному вигідніше зізнатися, хоч би що робив інший, тож ніхто не змінить вибору самостійно, хоча мовчання обох принесло б більше.
Що це за термін?
“____ вивчає стратегічні рішення, де найкращий вибір кожного гравця залежить від того, що роблять інші. ____ — її найвідоміший приклад.”
Категорії: Структура ринку
Тренуйтеся з $10 000 ігрових грошей
Безкоштовно. Жодних справжніх грошей.
Лише для навчання, не фінансова порада. Торгівля та інвестування завжди пов'язані з ризиком, зокрема втрати грошей, а минулі результати не передбачають майбутніх.
