שיווי משקל נאש

⚖️ דילמת האסיר: מטריצת תמורות

שני שותפים לפשע נחקרים בחדרים נפרדים ולא יכולים לדבר זה עם זה. כל אחד יכול לשתוק או להודות. הטבלה מראה את עונש המאסר שכל אחד מקבל בכל צירוף של בחירות; פחות שנים עדיף.

הסתכלו על זה קודם מהצד שלכם. אם השותף שותק, הודאה משחררת אתכם בלי עונש במקום שנה. אם השותף מודה, הודאה נותנת לכם 3 שנים במקום 5. בכל מקרה עדיף לכם להודות, והשותף, שעומד מול אותם מספרים, חושב בדיוק כך.

לכן שניהם מודים ויושבים 3 שנים כל אחד. אף אחד מהם לא יכול לשפר את מצבו בשינוי הבחירה שלו בלבד: מי שהיה עובר לבדו לשתיקה היה מקבל 5 שנים. זה הופך את ההודאה של שניהם לשיווי משקל נאש, אף ששתיקה של שניהם הייתה עולה לכל אחד מהם רק שנה. הפער בין מה שיציב לבין מה שטוב ביותר לזוג הוא כל העניין בדילמה.

🪜 איך מוצאים שיווי משקל נאש, צעד אחר צעד

1. רשמו את השחקנים, את הבחירות שפתוחות בפני כל אחד ואת התמורה לכל צירוף. לשני שחקנים זו טבלה כמו זו שלמעלה.
2. קחו שחקן אחד. לכל בחירה שהשני יכול לעשות, סמנו את התגובה הטובה ביותר של השחקן הזה: הבחירה שנותנת לו את התמורה הטובה ביותר.
3. עשו אותו דבר לשחקן השני.
4. כל תא ששתי הבחירות בו מסומנות כתגובות הטובות ביותר הוא שיווי משקל נאש: אף אחד לא מרוויח ממעבר לבדו.
5. אם אין תא עם שני סימנים, אין שיווי משקל בבחירות קבועות. חפשו שיווי משקל מעורב, שבו השחקנים בוחרים באקראי בהסתברויות קבועות (ראו למטה).
6. אם כמה תאים עומדים בתנאי, למשחק יש כמה שיווי משקל, ואיזה מהם אנשים יגיעו אליו תלוי בהרגל, בהיסטוריה או בציפיות.

🆚 שיווי משקל נאש, אסטרטגיה שלטת ויעילות פארטו

כשלכל שחקן יש אסטרטגיה שלטת, שימוש בהן הוא שיווי משקל נאש, אבל לרוב המשחקים יש שיווי משקל בלי שום אסטרטגיה שלטת. ושיווי משקל נאש יכול להיות לא יעיל פארטו, כמו כאן.

🎲 אסטרטגיות מעורבות, במילים פשוטות

בחלק מהמשחקים אין זוג יציב של בחירות קבועות. בבעיטת עונשין, אילו הבועט היה תמיד בועט שמאלה, השוער היה תמיד מזנק שמאלה, ואז הבועט היה עובר לימין, וחוזר חלילה. הדרך החוצה היא להיות בלתי צפויים: כל צד בוחר באקראי, בהסתברויות הנכונות.

ההסתברויות הנכונות הן אלה שלא משאירות ליריב שום דבר לנצל. אם השוער טוב באותה מידה לשני הכיוונים, הבועט צריך לבעוט לכל כיוון בחצי מהפעמים; אז זינוק שמאלה או ימינה עוצר אותו חלק מהבעיטות. זוג התערובות האקראיות הזה הוא שיווי משקל נאש באסטרטגיות מעורבות. נאש הוכיח שבכל משחק עם מספר סופי של שחקנים ובחירות יש לפחות שיווי משקל אחד, ברגע שמותר לערבב.

אבן, נייר ומספריים הוא המקרה הקלאסי: שיווי המשקל היחיד הוא לשחק כל אחת מהאפשרויות בשליש מהפעמים. כל נטייה לאבן אפשר לנצח על ידי מי שמשחק יותר נייר.

🌐 שיווי משקל נאש בחיים האמיתיים

🎲 נסו בעצמכם: לשתף פעולה או לבגוד?

שחקו שישה סיבובים מול בוט; שניכם בוחרים באותו זמן. שניכם משתפים פעולה: 3 נקודות לכל אחד. שניכם בוגדים: נקודה אחת לכל אחד. אם אחד בוגד והשני משתף פעולה, הבוגד מקבל 5 והמשתף 0.

🧐 תפיסות שגויות נפוצות

• ✗ מיתוס: שיווי משקל נאש הוא התוצאה הטובה ביותר.

  ✓ בפועל: הוא רק יציב. בדילמת האסיר שיווי המשקל גרוע לשני השחקנים משיתוף פעולה.

• ✗ מיתוס: בכל משחק יש בדיוק אחד.

  ✓ בפועל: במשחקים יכולים להיות כמה (באיזה צד של הכביש לנהוג) או אף אחד בבחירות קבועות (אבן, נייר ומספריים). ברגע שמותר לערבב, בכל משחק סופי יש לפחות אחד.

• ✗ מיתוס: הוא מניח שאנשים אנוכיים.

  ✓ בפועל: הוא מניח שכל שחקן עושה את מה שטוב לו לפי התמורות שלו. אם לשחקנים אכפת זה מזה, זה נכנס לתמורות, ושיווי המשקל משתנה.

• ✗ מיתוס: סצנת הבר ב״נפלאות התבונה״ מראה שיווי משקל נאש.

  ✓ בפועל: בתוכנית שבסרט אף אחד לא ניגש לאישה הפופולרית ביותר. זה לא יציב: כל אחד מהחברים היה מרוויח אם היה ניגש אליה בזמן שהאחרים מתאפקים.

• ✗ מיתוס: אנשים תמיד משחקים את שיווי המשקל.

  ✓ בפועל: שחקנים אמיתיים משתפים פעולה לעיתים קרובות יותר ממה שהתאוריה חוזה, במיוחד במשחקים חוזרים או עם אנשים שהם מכירים. שיווי המשקל הוא נקודת ייחוס, לא חוק.

📚 מקורות

1. Nash, J. F. (1950). Equilibrium points in n-person games. Proceedings of the National Academy of Sciences 36(1): 48–49.
2. Nash, J. F. (1951). Non-cooperative games. Annals of Mathematics 54(2): 286–295.
3. von Neumann, J. and Morgenstern, O. (1944). Theory of Games and Economic Behavior. Princeton University Press.
4. Flood, M. M. (1952). Some Experimental Games. RAND Corporation, RM-789-1.
5. The Prize in Economic Sciences 1994. NobelPrize.org.
6. John F. Nash Jr., biographical. NobelPrize.org.
7. Nasar, S. (1998). A Beautiful Mind. Simon & Schuster.
8. Maynard Smith, J. and Price, G. R. (1973). The logic of animal conflict. Nature 246: 15–18.
9. Milinski, M. (1979). An evolutionarily stable feeding strategy in sticklebacks. Zeitschrift für Tierpsychologie 51(1): 36–40.
10. Harper, D. G. C. (1982). Competitive foraging in mallards: 'ideal free' ducks. Animal Behaviour 30(2): 575–584.
11. Sinervo, B. and Lively, C. M. (1996). The rock–paper–scissors game and the evolution of alternative male strategies. Nature 380: 240–243.
12. Walker, M. and Wooders, J. (2001). Minimax play at Wimbledon. American Economic Review 91(5): 1521–1538.
13. Palacios-Huerta, I. (2003). Professionals play minimax. Review of Economic Studies 70(2): 395–415.
14. Ross, D. Game Theory. Stanford Encyclopedia of Philosophy.
15. Axelrod, R. (1984). The Evolution of Cooperation. Basic Books.
16. Bertrand, J. (1883). Review of Théorie mathématique de la richesse sociale and Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses. Journal des Savants 67: 499–508.
17. Braess, D. (1968). Über ein Paradoxon aus der Verkehrsplanung. Unternehmensforschung 12: 258–268.
18. Further reading: Nash Equilibrium. Investopedia.

איזה מונח זה?

“____ היא חקר ההחלטות האסטרטגיות, שבהן הבחירה הטובה ביותר של כל שחקן תלויה במה שהאחרים עושים. ____ היא הדוגמה המפורסמת ביותר שלה.”